aposentos: reforma e reformatório

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síntese e análise-2

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Nas matemáticas superiores, contudo, estas palavras tomaram, curiosamente, um significado completamente diferente. A geometria sintética  a que estuda as figuras como tais, sem recorrer a fórmulas, enquanto que a geometria analítica aplica de maneira consistente essas fórmulas, depois da escolha de um sistema apropriado de coordenadas. Para ser exacto, compreenda-se que entre estas duas espécies de geometrias existe só uma diferença de grau consoante se dá maior relevo às figuras ou só fórmulas. A geometria analítica que prescinde completamente da representação geométrica dificilmente pode ser chamada geometria; a geometria sintética não vai muito longe se não recorrer a fórmulas convenientes que traduzam, com precisão, os seus resul-
tados. O processo seguido neste curso traduz este facto pois, desde o início que usmos fórmulas e averiguamos, depois, qual o seu significado geométrico.
Na matemática, como em tudo o resto, as pessoas tendem a formar partidos, de modo que surgiram escolas de sintéticos puros e escolas de analíticos puros que deram destaque fundamental à absoluta “pureza do método” sendo assim mais sectários do que a natureza do assunto pedia. Assim, os geómetras analíticos perderam-se muitas vezes em cálculos cegos, destituidos de qualquer representação geométrica. Os sintéticos, por outro lado, viam a salvação evitando artificialmente todas as fórmulas mas não conseguindo, afinal, nada mais do que desenvolver, na sua linguagem peculiar própria, fórmulas diferentes das habituais. Um tal exagero dos princípios fundamentais das escolas científicas conduz a uma certa petrificação; quando isto acontece, o estímulo para progressos renovados da ciência vem principalmente dos “outsiders”. Assim, no caso da geometria, foram os investigadores da teoria de funções que primeiro tornaram clara a diferença entre curvas analíticas e não analíticas, uma diferença que nunca tinha merecido atençâo suficiente quer dos representantes científicos quer dos manuais das duas escolas. De maneira semelhante, foram os físicos, como vimos, que fizeram grande uso da análise vetorial apesar de as noções fundamentais já se encontrarem em Grassmann.
Mesmo em textos de geometria atuais, é frequente os vetores serem pouco referidos como conceitos independentes.
De tempos a tempos tem sido proposto que a geometria, como tema independente da instrução, seja separada da matemática e que, duma maneira geral, para efeitos de ensino, a matemática seja dividida nas suas diferentes disciplinas. De facto, têm sido criadas, particularmente em universidades estrangeiras, cadeiras especiais para geometria, álgebra, cálculo diferencial,etc. Gostaria de deduzir da discussão anterior que a criação de limites tão estreitos não é aconselhável. Pelo contrário, deveria permitir-se a mais viva interação possível dos diferentes ramos da ciência com um interesse comum.
Cada ramo, por si só, deveria sentir-se, em princípio, como representante da matemática como um todo. No mesmo sentido, sou a favor das mais dinâmicas relações entre os matemáticos e os representantes de todas as outras ciências.

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Felix Klein.

Matemática Elementar de um ponto de vista Supeerior. volume II

SPM: 2012

síntese/análise – 1

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Gostaria, no entanto, de acrescentar aqui uma explicação sobre a diferença entre geometria analítica e geometria sintética, que está sempre presente nestes debates. De acordo com o seu signi ficado original, síntese e análise são métodos diferentes de exposição. A síntese começa com detalhes e, a partir deles, constrói nocões cada vez mais gerais até chegar às mais gerais de todas. A análise, pelo contrário, começa pelo mais geral que vai decompondo em cada vez mais detalhes. É precisamente esta diferença de signi ficado que justi fica as designações de química sintética e analítica. Do mesmo modo, na geometria escolar, falamos na análise das construções geométricas: Supomos, por exemplo, que o triângulo desejado foi encontrado e dissecamos depois o problema dado em problemas parciais distintos.

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Felix Klein.
GEOMETRIA -Matemática Elementar de um ponto de vista Superior volume II.
SPM: 2012

das atribuições… à Poincaré.

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Sobre como Poincaré chamava pelos nomes:

Por considerar que estariam ligadas com certos problemas de inversão do quociente de duas soluções linearmente independentes de equações  diferenciais lineares de 2ª ordem fuchsianas, Poincaré chamou à primeira classe de funções automórficas funções fucsianas.  Quando Klein protestou porque Lazarus Fuchs nunca tinha considerado tais funções antes dele, de imediato, Poincaré  decidiu chamar  funções kleinianas à próxima classe de funções que estudou… precisamente porque Klein nunca as tinha considerado.

 

adaptado de The Harmony of the World, 75 years of Mathematics Magazine, The MAA, Washington:2007