a matéria das curvas e as geometrias

rolante

Consideremos curvas como supostos  fios materiais extremamente finos. A respeito da matéria de que seriam feitas essas curvas podemos propor três hipóteses:

  1. A matéria é rígida — os fios, representando as curvas, são indeformáveis.
  2. A matéria é deformável, mas inextensível — os fios representando as curvas podem ser deformados, mas nas deformações que sofrerem as distâncias entre dois pontos da curva, calculada ao longo do fio, mantém-se constante. Pode, por exemplo, supor-se que  se trata de fios metálicos.
  3. A matéria é deformável e extensível — os fios considerados podem ser deformados, dilatados ou contraídos, como  o podem ser, por exemplo, fios de borracha.

Como podemos imaginar, em cada uma destas hipóteses, uma classificação para as curvas?

Na primeira hipótese, não podemos senão deslocar as nossas curvas. Nos deslocamentos, uma linha recta conserva-se recta e a distância entre dois pontos mantém-se constante. Podemos agrupar na mesma categoria duas curvas que, por meio de deslocamentos, se podem sobrepor ou que, por extensão, sejam simétricas em relação a um plano. É este o caso da geometria métrica elementar…

Coloquemo-nos na segunda hipótese e conisderemos dois segmentos de curva limitados, o primeiro por dois pontos A e B e o segundo por dois pontos A’, B’. Desloquemos o segundo segmento de curva de modo a levar A’ sobre A e deformamos o segmento de maneira a aplicá-lo sobre o primeiro segmento. Se depois desta deformação, o ponto B’ coincidir com B, diremos que os segmentos de curva considerados são iguais, ou então que as distâncias curvilíneas AB, A’B’ (distâncias calculadas como caminhos percorridos sobre a curva) são iguais.

Não podemos, neste caso, considerar de modo particular as rectas e podemos agrupar  numa mesma categoria duas curvas tais que  uma delas possa ser deformada de  modo a ser aplicada exactamente sobre a outra. O que aqui se conserva imutável é a distância curvilínea entre dois pontos considerados como pertencentes a uma dada curva.

Na terceira hipótese será sempre possível aplicar dois segmentos de curvas AB,  A’B’,  um sobre o outro,  de modo que A coincida com A’ e B com B’. Neste caso colocaremos na mesma categoria duas curvas que se possam aplicar exactamente uma sobre a outra alongando, se for necessário, certas partes de uma ou outra das curvas. O que não é permitido é a rotura de uma curva ou a soldadura de duas curvas. A distância curvilínea entre dois pontos não é, assim, conservada.

Tomemos um exemplo simples. Consideremos uma circunferência C e uma elipse E.

Na primeira hipótese, as duas curvas terão lugar em categorias diferentes.

Na segunda, as duas curvas pertencerão à mesma categoria se tiverem perímetros iguais. Caso contrário, a circunferência e a elipse pertencerão a categorias diferentes.

Na terceira hipótese,  a circunferência e a elipse pertencerão sempre à mesma categoria. Pode-se, de facto, dilatar sempre a circunferência  (ou a elipse) de modo que se torne igual à elipse (à circunferência).

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Godeaux. As Geometrias. PE-A. Lisboa:1960