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Tag: Geometria

exemplos que ensinam

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Quando o grande matemático alemão David Hilbert, na virada século, estruturou em bases lógicas inatacáveis os fundamentos da geometria de Euclides, tudo leva a crer que boa parte de sua motivação foi de natureza metodológica, determinada pelo desejo de oferecer às gerações uma apresentação da Geometria que fosse livre de lacunas no encadeamento lógico das suas proposições  atingindo assim, efectivamente, o ideal de perfeição perseguido por Euclides. E, de facto, vários compêndios escolares chegaram a ser  organizados nos moldes da axiomática de Hilbert.

Cedo  porém se constatou que, a fim de colocar em bases lógicas correctas certas noçõess intuitivas como a ordem dos pontos numa recta, ou a sua continuidade, é necessário passar por uma sequercia de proposições de natureza técnica que pouco têm de geom.tricas, que contêm enunciados completamente óbvios do ponto de vista intuitivo, mas que necessitam de demonstraçõess, às vezes muito subtis, pois não estavam explicitamente admitidos entre os axiomas adoptados.

Desenvolver essa tarefa enfadonha até atingir um ponto onde são permi­tidos os raciocínios e as construções geométricas tradicionais da Geometria Euclidiana pode ser um trabalho logicamente necessário, mas é didactica­mente desastroso.

Hoje em dia prevalece o ponto de vista de que, para apresentar a Geome­tria sob a forma sintética (isto é, sem coordenadas) deve-se usar o método da  axiomatização local,  onde se admitem sem demonstração alguns factos bá­sicos, intuitivamente plausíveis, muitos dos quais poderiam perfeitamente ter o estatuto de teoremas. A partir deles desenvolvem-se temas geométri­cos (como áreas, volumes, semelhança, etc.) de forma consideravelmente rigorosa.

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Elon Lima. Matemática e Ensino. Gradiva/SPM.Lisboa : 2004

síntese e análise-2

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Nas matemáticas superiores, contudo, estas palavras tomaram, curiosamente, um significado completamente diferente. A geometria sintética  a que estuda as figuras como tais, sem recorrer a fórmulas, enquanto que a geometria analítica aplica de maneira consistente essas fórmulas, depois da escolha de um sistema apropriado de coordenadas. Para ser exacto, compreenda-se que entre estas duas espécies de geometrias existe só uma diferença de grau consoante se dá maior relevo às figuras ou só fórmulas. A geometria analítica que prescinde completamente da representação geométrica dificilmente pode ser chamada geometria; a geometria sintética não vai muito longe se não recorrer a fórmulas convenientes que traduzam, com precisão, os seus resul-
tados. O processo seguido neste curso traduz este facto pois, desde o início que usmos fórmulas e averiguamos, depois, qual o seu significado geométrico.
Na matemática, como em tudo o resto, as pessoas tendem a formar partidos, de modo que surgiram escolas de sintéticos puros e escolas de analíticos puros que deram destaque fundamental à absoluta “pureza do método” sendo assim mais sectários do que a natureza do assunto pedia. Assim, os geómetras analíticos perderam-se muitas vezes em cálculos cegos, destituidos de qualquer representação geométrica. Os sintéticos, por outro lado, viam a salvação evitando artificialmente todas as fórmulas mas não conseguindo, afinal, nada mais do que desenvolver, na sua linguagem peculiar própria, fórmulas diferentes das habituais. Um tal exagero dos princípios fundamentais das escolas científicas conduz a uma certa petrificação; quando isto acontece, o estímulo para progressos renovados da ciência vem principalmente dos “outsiders”. Assim, no caso da geometria, foram os investigadores da teoria de funções que primeiro tornaram clara a diferença entre curvas analíticas e não analíticas, uma diferença que nunca tinha merecido atençâo suficiente quer dos representantes científicos quer dos manuais das duas escolas. De maneira semelhante, foram os físicos, como vimos, que fizeram grande uso da análise vetorial apesar de as noções fundamentais já se encontrarem em Grassmann.
Mesmo em textos de geometria atuais, é frequente os vetores serem pouco referidos como conceitos independentes.
De tempos a tempos tem sido proposto que a geometria, como tema independente da instrução, seja separada da matemática e que, duma maneira geral, para efeitos de ensino, a matemática seja dividida nas suas diferentes disciplinas. De facto, têm sido criadas, particularmente em universidades estrangeiras, cadeiras especiais para geometria, álgebra, cálculo diferencial,etc. Gostaria de deduzir da discussão anterior que a criação de limites tão estreitos não é aconselhável. Pelo contrário, deveria permitir-se a mais viva interação possível dos diferentes ramos da ciência com um interesse comum.
Cada ramo, por si só, deveria sentir-se, em princípio, como representante da matemática como um todo. No mesmo sentido, sou a favor das mais dinâmicas relações entre os matemáticos e os representantes de todas as outras ciências.

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Felix Klein.

Matemática Elementar de um ponto de vista Supeerior. volume II

SPM: 2012

síntese/análise – 1

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Gostaria, no entanto, de acrescentar aqui uma explicação sobre a diferença entre geometria analítica e geometria sintética, que está sempre presente nestes debates. De acordo com o seu signi ficado original, síntese e análise são métodos diferentes de exposição. A síntese começa com detalhes e, a partir deles, constrói nocões cada vez mais gerais até chegar às mais gerais de todas. A análise, pelo contrário, começa pelo mais geral que vai decompondo em cada vez mais detalhes. É precisamente esta diferença de signi ficado que justi fica as designações de química sintética e analítica. Do mesmo modo, na geometria escolar, falamos na análise das construções geométricas: Supomos, por exemplo, que o triângulo desejado foi encontrado e dissecamos depois o problema dado em problemas parciais distintos.

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Felix Klein.
GEOMETRIA -Matemática Elementar de um ponto de vista Superior volume II.
SPM: 2012

sentidos e geometrias

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F. Enriques notou que as diferentes geometrias correspondem a grupos de sensações. Pode resumir-se o seu ponto de vista da maneira seguinte:

O homem normal constituiu a geometria elementar.

Se se suprimissem as mãos deste homem, impedindo-o de medir as distâncias, ele é conduzido à geometria projectiva.

Se, pelo contrário, se lhe suprime a vista, ele conserva a possibilidade de medir distâncias, mas perde a noção de recta. E é conduzido à métrica geral.

Se, finalmente, se lhe suprime ao mesmo tempo o uso da vista e das mãos, ele é conduzido à topologia. A noção de recta e a de distância tornam-se-lhe inacessíveis.

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Godeaux, L. As Geometrias, Publ. Europa-América. Lisboa:1960