exemplos que ensinam

by adealmeida

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Quando o grande matemático alemão David Hilbert, na virada século, estruturou em bases lógicas inatacáveis os fundamentos da geometria de Euclides, tudo leva a crer que boa parte de sua motivação foi de natureza metodológica, determinada pelo desejo de oferecer às gerações uma apresentação da Geometria que fosse livre de lacunas no encadeamento lógico das suas proposições  atingindo assim, efectivamente, o ideal de perfeição perseguido por Euclides. E, de facto, vários compêndios escolares chegaram a ser  organizados nos moldes da axiomática de Hilbert.

Cedo  porém se constatou que, a fim de colocar em bases lógicas correctas certas noçõess intuitivas como a ordem dos pontos numa recta, ou a sua continuidade, é necessário passar por uma sequercia de proposições de natureza técnica que pouco têm de geom.tricas, que contêm enunciados completamente óbvios do ponto de vista intuitivo, mas que necessitam de demonstraçõess, às vezes muito subtis, pois não estavam explicitamente admitidos entre os axiomas adoptados.

Desenvolver essa tarefa enfadonha até atingir um ponto onde são permi­tidos os raciocínios e as construções geométricas tradicionais da Geometria Euclidiana pode ser um trabalho logicamente necessário, mas é didactica­mente desastroso.

Hoje em dia prevalece o ponto de vista de que, para apresentar a Geome­tria sob a forma sintética (isto é, sem coordenadas) deve-se usar o método da  axiomatização local,  onde se admitem sem demonstração alguns factos bá­sicos, intuitivamente plausíveis, muitos dos quais poderiam perfeitamente ter o estatuto de teoremas. A partir deles desenvolvem-se temas geométri­cos (como áreas, volumes, semelhança, etc.) de forma consideravelmente rigorosa.

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Elon Lima. Matemática e Ensino. Gradiva/SPM.Lisboa : 2004