fórmula de… Euler?

by adealmeida

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Tenho um problema com esta fórmula. Embora eu concorde que este resultado é belo e importante, não estou convencido que seja certo atribuí-lo a Euler.

Em primeiro lugar, eu nunca vi afirmação de Euler condensada em termos dessa fórmula. Contudo,  nas suas cartas a Christian Goldbach de Outubro de 1729, o jovem Euler, aos 22 anos de vida, escreveu que uma certa soma seria igual a:  \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{-1}.\ln(-1)}  o que seria igual ao lado do quadrado igual ao círculo de diâmetro 1.

Podemos esclarecer o que é isso. Um círculo de diâmetro 1 tem raio \frac{1}{2} e portanto área \frac{\pi}{4}. Aquela  raíz quadrada  seria pois \frac{1}{2} \sqrt{\pi}.  Por isso, Euler defendeu que

\sqrt{\sqrt{-1}.\ln(-1)}= \sqrt{\pi}.

Misturando  isso com alguma álgebra (?) obtemos

i \ln(-1)= \pi

\ln(-1)=- i.\pi

-1=e^{-i.\pi}

E,  portanto, e^{i.\pi} =-1.

Assim, Euler soube de alguma coisa facilmente  equivalente à formula, cedo, por volta de 1729. Euler teria muito provavelmente reclamado o  crédito pela descoberta se a ela tivesse chegado  pelos seus próprios meios, por isso eu penso que   o mais certo é ele ter aprendido isso com Johann Beroulli.

Para além de tudo isto, é certo que  Roger Coates (1682-1716) conhecia a generalização e^{i\theta}=cos (\theta) + i. sen(\theta) antes de Euler entrar em cena.

É um belo resultado, mas até que eu tenha este problema de atribuição completamente resolvido, o mais provável é que e^{i\pi}=-1 nunca venha a ser assunto de uma coluna minha.

(Provavelmente mal traduzido de) C. Edwards Sandifer, How Euler did it.  The MAA Tercentenary Euler Celebrations. MAA. 2007 (coleção das quarenta colunas publicadas em MAAonline, sob o título How Euler dit it,  entre Novembro e 2003 e Fevereiro de 2007)